老钱ZT：美国联邦众议院比例代表制的演进

老钱

*=====  转自华夏文摘/万维网。 此老钱是Dallas的，不是Atlanta的。  *=====

老钱：美国联邦众议院比例代表制的演进

   

发表于 2015 年 08 月 04 日 由 老钱                    

说到民主，人们首先想到的是选举。经济学家分析过，除了能由市场决定的事情之外，选举是最公平的解决问题方式。现代社会中，人们遇到无法用市场决定的事情时，头一个想到的是选举。很多人认为选举就是民主，就一定公平。选举一定公平吗？不管你承认与否，现代社会中，人们普遍认可的选举本身就存在着很多问题。选举是一个数学问题，不管你信不信，当选举在巨大的、复杂的社会系统中进行时，如何进行合理的选举并保证其能正常运作的程序就是一个非常困难的数学问题。数学方法在合理设计各种政治系统并保证其正常运作方面起着至关重要的作用。往极端了说，寻求合理制度、建立有效政治体制，本质上是一个纯数学问题。
现代社会人口众多，不可能像古希腊那样实行一人一票的直接民主制。代之而行的是比例代表制，也就是按某一地区的人口数目来定其代表数。美国宪法规定，美国最高立法权在国会——联邦参众两院。他们代表即各州人民的利益，也是各州人民的喉舌。联邦众院席位按各州的人口比例分配，这就是比例代表制。美国宪法的第一条，第二款中这样规定了美国联邦众议员的比例代表制：
“众议员名额和直接税税额，应按联邦内各州的人口比例分配。各州人口，按自由人总数加所有其他人口的３／５予以确定。自由人总数包括按契约服一定年限劳役的人，但不包括未被征税的印第安人。人口的实际统计在合众国国会第一次会议后３年内和此后每１０年，依法进行。每３万人选出的众议员人数不得超过１名，但每州至少须有１名众议员。在进行上述人口统计前，新罕布什尔州有权选出３名，马萨诸塞州８名，罗得岛州和普罗维登斯种植园１名，康涅狄格州５名，纽约州６名，新泽西州４名，宾夕法尼亚州８名，特拉华州１名，马里兰州６名，弗吉尼亚州１０名，北卡罗来纳州５名，南卡罗来纳州５名，佐治亚州３名。”
这就是联邦众院议员名额比例代表制的来源。联邦众议员名额比例代表制的历史细节非常有趣，它涉及到美国历史上的许多著名的政治人物。美国联邦参众两院来历非同寻常，它们不是来自美国制宪先贤们的智慧，而是他们在为本州利益进行了无休止争论后妥协的结果。众院的比例代表制，体现了对人民的公平和民主；而参院的固定代表制则体现了州权的平等。制宪先贤没有预见到，美国政治生活中最后会只有两个政党起决定作用，他们制定的参众两院的席位分配法，是为了平衡州与人民的权力。众院的比例代表制产生了一系列的“选举悖论”（ElectionParadox）。即看似公平的比例代表制，在美国的选举历史上，产生过多次不公平的结果。
今天，美国联邦众议院席位固定的435人。宪法生效时，美国众院选区大小为３万人。如今已经超过700,000人了。1911年人口统计后，众院席位数应为433人，因亚利桑那州和新墨西哥州加入联邦，众院席位成为435席。1912年，众院没能制定出新选区的大小和众院席位总数。共和党为了不让选区大小和议员席位影响共和党在议会中的多数党地位，1929年国会通过法律把众院席位固定在435席。
理想的众院席位数应该是多少？在建国之初就是一个问题。乔治·华盛顿在1787年的制宪会议上建议，把选区规模定在３万人，这是华盛顿在制宪会议上唯一一次正式发言。于是，众院席位数要到1790年第一次联邦人口统计结束后，才能知道。有人认真研究过，众院最佳席位数应该在人口的立方根和平方根之间。以目前的美国人口，理想的众院席位数应该是在700与17,000席之间。
建国之初，詹姆斯·麦迪逊（JamesMadison）在《联邦党人文集》中的第五十五篇论文中对于众院的席位数有过以下论证：首先，选区要小到一定程度，使得其代表——议员能够足够地接近他所代表的人民，使他能充分理解他所代表的人民、和他们的生活环境、宗教信仰、及价值观；第二，议员必须来自足够低的社会阶层，因此能够同情、理解他所代表的人民；第三，议员的权力必须被分散，这样他们将无法滥用选民对他们的信任。
对于反联邦党人关于席位太少的论点，麦迪逊说，按照宪法，众院合理的席位数会因为十年一次的人口统计而被调整。关于众院席位越多越好的论点，麦迪逊说，的确，六十或七十个人的可信度要超出六个或其个人；但是，这并不是说六、七百人会更好。在大多数情况下，更多的人并不意味着更理性。从理性出发，众院合理的席位并不是越多越好。
早在宪法第一修正案中，就有人建议过众院席位的增长模型，但未被批准。后来，又有很多建议。这里来看一下一个很公平合理的建议——怀俄明准则。该准则说的是选区大小应以最小州（该州的人口要小于联邦最小选区人口）为准。然后用全国人口除以该州人口，即为众院席位数。这样的话，每个选民的选举权的权重才是相等的。以2000年的人口统计为例，怀俄明州为570,000人，但因其为州，于是在众院有了一席。而蒙大拿州的人口为１百万，但不是570,000的一倍，因此也只能在众院占一席。这样的话，有人会说，蒙大拿人在众院的政治权利只有怀俄明人的一半。这些年来，美国的人口逐年增加，众院席位距麦迪逊当年的理想越来越远了。2001年5月，联邦众议员Alcee　Hastings致信给众院同仁，指出美国国会席位增长的步子没能跟上国家的发展。
现在，让我们来看看联邦众议员的比例代表制。在阐述美国联邦众院比例代表制之前，先给出比例代表制的精确定义：
给定n个州S[sub]1[/sub], S[sub]2[/sub], ………, S[sub]n[/sub],  每州的人口为P[sub]1[/sub], P[sub]2[/sub], ……, P[sub]n[/sub]；给定众议院的席位数为正整数h；比例代表制就是找出一组非负整数a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub], ……, a[sub]n[/sub],使a[sub]1[/sub]+……+a[sub]n[/sub] = h。一般情况下，h 是固定，但h 也可以是变数。
美国宪法规定的比例代表制，与上面的稍有不同。因为美国宪法要求每州至少一个众议员，也就是说a[sub]i[/sub] 大于等于1。一般地说，就是存在一组正整数b[sub]i[/sub] ；a[sub]i[/sub] 必须大于等于b[sub]i[/sub]。美国宪法并没有规定ｈ值，根据最初的美国宪法，第一届众院席位ｈ等于６５，后来ｈ一直在增大，最后被固定在４３５。但ｈ也可以暂时因为新州加入联邦而增加。
有了比例代表制的定义后，很容易看出其中可能出现的问题。首先是分数代表问题，以目前为例，众院的总代表数是435。若某一州的人口为美国总人口的１０％，那么该州的众院代表人数应该是43.5人。这0.5个人该怎么算。简单地说，该州应该得到44个众议员席位，或43个众议员席位。要是给该州43个席位，按人口比例，该州代表就少了；给该州44个席位，该州代表就多了。
比例代表制的第二个问题是如何进行精确的人口统计。美国宪法规定，每十年进行一次人口统计，第一次人口统计是1790年进行的，最近一次是2010年。美国人口逐年增长，但越来越多的美国人生活在国外，很多人常年在国外工作。进行精确的人口统计并非易事。联邦政府在海外工作的民职和军职人员及他们的家属，计入本州人口，私人企业的工作人员则不计。城市贫民和移民常被少算。怎样处理这些情况，有很多政治和学术上的争论，调整统计样本是常事。统计局的统计结果常被各方质疑，还会上诉到法院。为此，各州和联邦统计局雇了很多数学家为统计结果把关。尤其是关系到比例代表制的时候。
比例代表制还会产生另一个问题：在每十年的人口统计后，各州众院席位会和前十年不一样，众院选区就会重划。有人利用重划选区，达到某种政治目的。这在英国历史上发生过。在美国，称为Gerrymandering，其始作俑者是美国国父、马萨诸塞州的独立宣言签署者、制宪会议代表、副总统Gerry。Gerrymandering 通常指利用重划选区来得到最多席位。近年来，美国最高法院利用它来保证选区能有一位少数民族代表。很多州请数学家来设计、划分选区，使其简洁、公平。数学家在美国政治生活中的重要性由此可见。
总的说来，比例代表制的数学问题，源于对比例中的分数处理。席位是整数，而比例必将产生分数，分数部分如何处理，是个难题。这不仅发生在政治生活中，它会发生在任何由比例代表决定的事务中。
为了避免比例代表制可能产生的问题，美国历史上有过好几个处理方案，其中的亚当斯和迪恩方案从未被采用过。每十年的人口统计后，总有人对众院席位分配不满，还会上诉到最高法院。目前美国使用的是1940年人口统计后，由亨廷顿（EdwardV．Huntington）于1921年提出的亨廷顿－希尔方案。2008年，图普拉克（J．Toplak）提出了一个基于“一人一票”理念的新方案。美国宪法并没有赋予众议员同等的选举权，但要求投票者有相同的权重。今天的美国，因为使用亨廷顿－希尔方案，众议员选区的大小从50万人到100万人不等。图普拉克方案要求每个选区大小完全相同，这样的话，选民无论他生活在哪个州、哪个选区，他的选举权重都是相同的，这也是1787年制宪先贤们的初衷。
在美国历史上，实际应用比例代表制产生过的问题有：１．阿拉巴马悖论：当众院席位增加时，某一州的席位反而减少；２．新州悖论：当一个新州加入联邦时，该州至少有一个众议员席位，按常理，其他州的众院席位应该减少，但因为人口比例是分数，在分数取整时反而使某些州的众院席位增加；３．人口悖论：当全国人口增加，同时各州人口也增加时，有的州席位反而减少，这也有悖于常识。
尽管美国的开国先贤们智慧超群，以其宪法为一个强有力的共和国奠定了坚实的基础。但是，他们没有想到美国后来的政治会是两党制，也没有想到相对公平的比例代表制会出现各种各样的问题。1790年，美国的人口统计结束后。第一件事就是决定用什么数学方法来决定比例代表制。当时有两个不同方案，一是汉密尔顿（Alexandar Hamilton）方案，另一个是杰弗逊（ThomasJefferson）方案。当时，参众两院已通过了汉密尔顿方案，但在杰弗逊的鼓动下，华盛顿总统第一次使用了总统否决权，汉密尔顿方案被华盛顿以违宪为由而否决，华盛顿一共才使用过两次总统否决权。
先来看看汉密尔顿方案：ｉ州的精确席位ｑ[sub]ｉ[/sub]有两种算法：q[sub]ｉ[/sub]＝（P[sub]ｉ[/sub]/P）×h，或是q[sub]ｉ[/sub]＝P[sub]ｉ[/sub]/（P/h）。两种方法看问题的角度不同：第一种算法是把众议员总席位ｈ按各州的人口比例分配，即先计算人口比例，再分配席位；第二个方案是，先定下选区的人口数，即选区的大小（P/h），再按各州人口P[sub]ｉ　[/sub]计算众议员席位数。
通常情况下，q[sub]ｉ[/sub]由两部分组成，整数和分数，整数部分是i州的最少议员席位。汉密尔顿方案说的是，先按q[sub]ｉ[/sub]的整数部分分配席位，如果q[sub]１[/sub]＋……＋q[sub]ｎ[/sub]＝h，分配完毕；如果q[sub]１[/sub]＋……＋q[sub]ｎ[/sub]＜h，再按q[sub]ｉ[/sub]分数部分排序，分配余下的席位直到分配完毕。汉密尔顿方案的好处是，每州的席位要么正好是人口比例，要么多一席或少一席。用汉密尔顿方案，各州的选区大小会不同。它的问题是当人口不变，众议员席位增加时，有些州的席位会减少，即阿拉巴马悖论。同样，当全国人口总数增加时，有些州的席位会减少，即人口悖论。
美国采用的第一个比例代表制席位分配法是民主党人杰弗逊的方案：该方案说的是对于非整数q[sub]ｉ[/sub]，取其小于q[sub]ｉ[/sub]的整数部分。如果q[sub]１[/sub]＋……＋q[sub]ｎ[/sub]＜h，减小选区P／h的大小，直到q[sub]１[/sub]＋……＋q[sub]ｎ[/sub]＝h。该方案于１７９０年被联邦政府采纳，当时联邦众议员的席位是h＝１０５。实践中，杰弗逊方案对大州有利，即系统性地偏向大州。
为了避免杰弗逊方案的问题，约翰·昆西·亚当斯（John Quency Admas）提出了亚当斯方案：该方案对于非整数q[sub]ｉ[/sub]，取其大于q[sub]ｉ[/sub]的整数部分，即q[sub]ｉ[/sub]＝1.2，则q[sub]ｉ[/sub]＝２。如果q[sub]１[/sub]＋……＋q[sub]ｎ[/sub]＞h，则增大选区P/h大小，直到q[sub]１[/sub]＋……＋q[sub]ｎ[/sub]＝h。亚当斯方案从来未被国会采纳。
丹尼尔·韦伯斯特（Daniel Webster）方案是杰弗逊方案和亚当斯方案的折中，取整方法改为四舍五入。韦伯斯特方案于1840年被国会采用，此方案避免了杰弗逊方案的弊病：大州得到更多席位。韦伯斯特方案一直被使用到1852年。
历史上还有两种方案：迪恩（Dean）方案和亨廷顿方案，这两种方案和韦伯斯特方案一样，但采用了不同的分数取整法。韦伯斯特方案以算术平均值为准，迪恩方案以调和平均值为基准，亨廷顿方案以几何平均值为基准。凡是采用了分数取整法的方案，称除数法。
上述各种方案是把席位在各州之间一次分配完。亨廷顿提出了一种动态分配方案，在总席位固定的前提下，一州一次分到一个席位，直到席位分完为止。该方案要求先建立一个排序规则，然后按排序依次分配席位。排序规则用上述各种方案来定。见下表：

方案	排序规则
亚当斯	Pi/i
迪恩	Pi/[2i(i+1)/(2i+1)]
亨廷顿-希尔	Pi/sqrt[i(i+1)]
韦伯斯特	Pi/[(2i+1)/2]
杰弗逊	Pi/(i+1)

下面这个例子是亚当斯方案排序规则在三个州A，B，C中的应用，其中A的人口为696人，B为268人，C为136人：

	A	B	C
	696	268	136
1	infinity	infinity	infinity
2	696	268	136
3	348	134	68
4	232	89.3	45.3
5	174	67	34
6	139.2	53.6	27.2
7	116	44.7	22.7

以亨廷顿规则来排序的动态席位分配方案就是国会目前采用的众院席位分配方案。
最初，国会在1790年第一次人口统计后，确定了联邦众议员席位总数ｈ为105。杰弗逊方案被用来确定各州席位，联邦众院席位不确定，以最后计算结果来定。1840年的人口统计数据表明，杰弗逊方案对大州有利——系统地偏向大州。国会采用了韦伯斯特方案，联邦众院席位还是由计算结果来定。1852年，国会立法决定先确立联邦众院席位，同时采用汉密尔顿方案来决定各州席位。
美国国家统计局在1880年的人口统计报告中，计算了众议院席位在275到350之间时，各州该得的席位。他们还发现，众院总席位由299增加到300，当人口不变时，阿拉巴马州的席位数由8减为7。美国统计局致国会的信中称之为“阿拉巴马悖论”（the so called Alabamaparadox）：联邦众院席位增加，反而导致阿拉巴马州的席位减少。
阿拉巴马悖论是这样的：若众院席位为299席，阿拉巴马配额（quota）为7.646；按哈密尔顿法排位，它该得到７席（7.646的整数部分），再由余数排位得到一席，因此阿拉巴马州的联邦众院席位数为８。阿拉巴马州的余数为7.646是得到额外席位州中排位最低的一位。余数低于阿拉巴马的州都没有得到额外席位。要是众院总席位增加到３００席，阿拉巴马州的配额为7.671。尽管每州的配额都增加了1／299＝0.33％，但大州因基数大，同样增加0.33％，于是大州的绝对值余数的增加大于阿拉巴马州。于是，德克萨斯州和伊利诺伊斯州因而在余数大小上，排在了阿拉巴马的前面。这样在总席位为300时，阿拉巴马余数排位无法象总席位数为299时那样得到额外一席，只得７席，比总席位为299时反而少了一席。
1901年，众院席位以1900年人口统计为基础重新按比例分配时，阿拉巴马悖论引起了激烈辩论。大多数议员通过了一项议案，确定众院规模为357个席位，科罗拉多州２席。科罗拉多州议员约翰·Ｃ·贝尔（John CBell）谴责道这是“由数学家推出的并称之为悖论的暴行”。他注意到，在众院席位为360至400时，他的州会获得３个而不是２个席位。在众院席位为357时，缅因州也受到阿拉巴马悖论的影响，缅因州议员说：“这是数学和科学联合起来，把缅因州当球耍，当数学抓住缅因州的时候，愿上帝保佑她！”在以后几十年中，很多优秀数学家向众院提供了“复杂、公正”的公式，以避免阿拉巴马悖论。在政客眼里，这些公式莫明其妙。
1907年，俄荷拉荷马州加入联邦，俄州得到了公平的席位时，其他州的席位发生了变化——新州悖论。1910年，国会以韦伯斯特方案取代汉密尔顿方案。第一次世界大战期间，美国数学学会主席亨廷顿得知了希尔的比例代表分配方案后，对其做了修正，称之为“相等比例法”。1940年，美国国会和罗斯福（FDR）总统批准采用亨廷顿－希尔法，直到今天。
二十世纪初，专家们对各种席位分配方案产生了大量的分歧。国会无法决定采用哪一个方案更公平。众院议长尼古拉斯·朗沃斯（NicholasLongworth）要求美国科学院把席位方配方案列为研究课题。一个由数学家G·A·Bliss，E·W·Brown，L·P·Eisenhart，和RaymondPearl组成的研究小组对此进行了研究。该小组的报告支持亨廷顿方案。稍后，一个由更为资深的包括大数学家冯·诺伊曼在内的研究小组也对此进行了研究，结果仍偏向亨廷顿方案。
但还是有人认为，这两份报告对亨廷顿支持是因为研究小组对亨廷顿的忠诚而不是出自公正原则。国会和罗斯福总统在1940年人口统计后，批准了亨廷顿方案。此后，在实践中再也没有出现过选举悖论。同时，联邦众议院席位也固定在了435席。但国会、州、联邦行政部门、及法院之间的争论从未平息过。很多案子到达了联邦最高法院，不过，亨廷顿－希尔方案始终没有被取代。
1990年人口统计后，联邦法院接到了两个关于比例代表制的上诉。联邦最高法院判决国会继续使用亨廷顿－希尔方案。
以2000年人口统计为例，亨廷顿－希尔方案和韦伯斯特方案的结果一样，迪恩方案同亨廷顿－希尔方案相比，蒙大拿州多出一席，北卡罗莱纳少一席；亨廷顿－希尔方案和汉密尔顿方案相比，加州少一席，犹他州多一席；而亚当斯和杰弗逊方案使加州的席位违反了席位公平原则。
美国宪法没有一个可以用来比较两个不同比例代表制分配方案的公平原则。当理想席位是分数的情况下，一种公平是让每州席位都低于理想席位，或都高于理想席位。另一种公平是在两个州之间比较，看其是否公平。阿拉巴马悖论使政治家们对比例代表制的不同分配方案的公平性产生了怀疑。但是对于不同分配方案的公平性，没有进行过系统研究。人们只是对于结果的倾向性有所关注，例如从统计上来看，杰弗逊方法对大州有利等等。美国宪法从一开始就对小州有利，因为每州至少一席的规定，就没有遵守相等比例原则。
亨廷顿是以公平原则比较不同方案的先驱。亨廷顿是一位非常尽职的数学家，他对此一课题的研究，不带倾向性。即使自己的方案有问题，他也会毫不犹豫地指出来。亨廷顿提出了两个公平原则：
第一个原则是总体优化。该原则是用来衡量一种给定方案在加总后公平与否。其目的是选择一种方案使其误差值加总后得到极小值。这一原则涉及到多种不同的优化方法，常常导致技术上的困难，亨廷顿没用此原则。最近的一些研究者又开始对该原则发生了兴趣。
第二个原则是两州间的优化。该原则说的是，当涉及到一州的席位改变时，不应该影响任何其他州的席位公平。亨廷顿的结论出人意料：历史上的席位分配方案至少在某种公平原则下是最优的。这就要求人们对这些公平原则给出一个价值判断，也就是说人们无法用纯数学的方法来判断哪个席位分配方案是最公平的，必须加入主观价值判断。
亨廷顿首先考量了各州间的绝对和相对的平等原则。亨廷顿论文中引用了1940年的人口统计数据：韦伯斯特方案给出密西根州（5,256,106人）18席，亨廷顿－希尔方案给出17席；韦伯斯特方案给出阿肯色州（1,949,387人）６席，亨廷顿－希尔方案给出７席。两个方案除了这两个州外，都一致。选区大小在韦伯斯特方案下为密西根州292,006人，亨廷顿－希尔方案下309,183人。在阿肯色州，韦伯斯特选区的大小为324,898人，亨廷顿－希尔选区大小为278,484人。两州韦伯斯特选区大小的绝对差值为32,892人，亨廷顿－希尔选区大小的绝对差值为30,699人。从选区大小的绝对差值来看，亨廷顿－希尔方案更为公平。因为是在讨论比例代表制，选区大小的相对差值也很重要。计算结果是，两州韦伯斯特选区的相对差值是11.26％，亨廷顿－希尔选区的相对差值是11.02％。由此可见，亨廷顿－希尔方案比韦伯斯特方案更公平。
上述例子清楚地表明，若以相对差值为公平标准，亨廷顿－希尔方案最佳。亨廷顿研究了历史上所有的席位分配方案，并给出了在不同的公平原则下的最佳席位分配方案：
以人口比例上限为标准，亚当斯方案最佳：|a[sub]i[/sub] – a[sub]j[/sub](P[sub]i[/sub]/P[sub]j[/sub])|—>min。
以人口席位比例绝对差值为标准，迪恩方案最佳：| P[sub]j[/sub]/a[sub]j[/sub] –P[sub]i[/sub]/a[sub]i[/sub]|—>min。
以席位人口比例相对差值为标准，亨廷顿方案最佳：|(a[sub]j[/sub]/P[sub]j[/sub] )/(a[sub]i[/sub]/P[sub]i[/sub])-1|—>min。
以席位人口比例绝对差值为标准，韦伯斯特方案为最佳：|a[sub]j[/sub]/P[sub]j[/sub] – a[sub]i[/sub]/P[sub]i[/sub]|—>min。
以人口比例下限为标准，杰弗逊方案最佳：|a[sub]i[/sub](P[sub]j[/sub]/P[sub]i[/sub])- a[sub]j[/sub] |—>min。
以上结论说明，以不同的绝对差值为标准，会有不同的的优化方案。但只有亨廷顿方案使相对差值最优。
亨廷顿的分析表明，美国历史上没有一种众院席位分配方案能满足所有可能的公平标准。那么问题的答案究竟在哪里呢？
1982年，迈克尔·巴林斯基(Michel Balinski)和佩顿·扬(Peyton Young)两人寻着亨廷顿的足迹，运用经济学家阿罗在提出阿罗不可能定理时使用的方法，证明了一个令人沮丧的结论——不产生悖论、不违反公平分配原则等五条选举公理在逻辑上不相容。他们考察了比例代表制的历史，结果发表在《Fair Representation: Meeting the Idealof One Man, OneVote》一书中。也就是说，大多数民主国家采用的比例代表制是不完备的，完美的选举制并不存在。这一里程碑式的结论改变了人们对公正的理解，人们对于“完美制度”的探索有了一个了结。
巴林斯基和扬研究了与比例代表制相关的各种公正原则的细节，然后把这些原则组成比例代表制必须遵守的公理。再用数理逻辑方法研究这些公理间的相容性，最后的结论是这五条选举公理不相容。
巴林斯基和扬对选举的公正原则提出了下列要求：１．席位分配方案必须是对总议员数单调，即当议员总数增加或减少时，各州席位不应该与之相反。２．席位分配方案必须在其理想席位数的临近，即ｑ＝2.3，ａ＝２或３。３.席位分配方案不能产生系统偏差，比如象杰弗逊方案那样偏向大州。４．席位分配方案必须对人口单调，即人口增加或减少时，各州席位不应该与之相反。５．席位分配方案不能产生新州悖论。他们还考察了，一州分为两州后的结果。
巴林斯基和扬指出，上述五个公正原则不能同时共存。详细的结论如下：如果一个方案在人口变化后，仍给出合理结果的话，即服从上述第４条，它必然是除数法。巴林斯基和扬因此放弃了他们自己提出的方案，尽管该方案服从上述第１和２条。
运用除数法的话，则无法保证每个州的席位数都在其理想席位最临近处。事实上，任何方法，若不违反上述第４条，就会违反上述第２条公平原则。
除数法方案对议员总数单调。即服从上述第１条公平原则。
除数法方案可以避免新州悖论。即服从上述第５条公平原则。
巴林斯基和扬还研究了席位分配方案在多次选举后的系统偏差。也就是对某种方案，在多次选举后，考察它偏向大州还是小州。但是分析某一方案的系统偏差，无论是用理论方法还是用经验方法，都很困难。
不公平的情形，也很值得考察。比如杰弗逊方案，明显地偏向大州。但是在欧洲的党派民主政治中，若使用杰弗逊方案，多数党将得到比公平席位更多的席位。有人称这一现象为以平等换稳定。该方案更容易使议会中多数党为单一政党，即多党同盟更难形成，这说明一党多数的社会，比多党结盟的社会更稳定。多党同盟可能导致政府的不稳定，长此以往会伤害全社会。政治学家对此有着广泛而又深刻的研究。
巴林斯基和扬在《美国数学月刊》的一篇论文中指出，目前美国国会使用的选举方案也违反上述第２条公平原则，并对小州有利。在比例代表制的选举方案研究中，巴林斯基和扬没有只停留在识别悖论上，他们还研究为什么悖论会反复出现。现实世界需要的是解决办法——一种几乎能一劳永逸地摆脱悖论的方法。巴林斯基和扬证明了，在他们能得到的人口资料的基础上，韦伯斯特方案无论是对于大州还是小州，都是最公平的；比起其他不受阿拉巴马悖论影响的分配方案，韦伯斯特方案更不容易违反上述第２条公平原则。
如果按巴林斯基和扬的分析，回到韦伯斯特方案。那么，在今天的情况下，新墨西哥州就会少一个席位，印第安纳州则会多一个席位。在众院人口调查委员会里，以巴林斯基和扬的理论为理由，印第安纳代表提出了恢复韦伯斯特方案的提案，但除了新墨西哥州反对以外，没有引任何反应。
关于比例代表制名额分配方案的理论和经验上的研究始终是一个热门课题。美国最高法院也因为在席位分配中可能产生不公平，而对席位方配方案中的各种问题进行考察。尽管，最高法院在1992年坚持使用亨廷顿－希尔方案，但这并不是说高院不会放弃它。
比例代表制这一看似公平的选举方案，竟然会引出这么多的问题。人们不禁要问，到底什么是社会公平、社会正义。什么样的社会组织的制度安排才能真正做到人人平等呢？如果任何一种制度安排都不能做到对社会上所有人同样的平等？那么民主的意义何在？是不是人类从其童年开始就一直追求的人人平等的社会只是一种可望不可及的理想呢？社会公平、社会正义这些概念是不是真的只能是柏拉图哲学世界中的理念呢？而人类从他们的童年开始追求的社会公平、社会正义在真实的社会中真的只能是这些哲学理念的影子吗？是不是一人一票的民主真的会象美国开国先贤们所惧怕那样，产生某种社会的无序状态呢？所有这些问题都是合理的，都是人们应该关注的。
如果换个角度去看这个问题，人们可以清楚地看到：人的认知是有缺陷的，人们组织政府的原则也是有缺陷的。这一缺陷是因为人的理性本身的缺陷，其表现形式是人的思维规则——逻辑的缺陷。就是说，人们思考所用的最严格、最有效、最万无一失的逻辑规则本身就是有缺陷的。于是，人们运用生活和历史经验所达成的社会组织、政府、法律、以及它们所要捍卫的社会组织的组织原则本身也是有缺陷。因此，不管人类社会怎样进步，理想的社会组织怎样让人向往，只要是在建立它们的时候，运用了人们的理性，它们就是有缺陷的。这是一个非常基本的哲学问题：任何人造的概念规则体系，即便是由真实存在按逻辑构造出来的概念规则体系，也会存在某种悖论或者矛盾。就象现代数学基础一样，有着无法消除的悖论。这一切归根到底还是因为，人的知识无法完整地描述真实世界。也就是说，人的理性是无法完整地反映真实世界的。
人最严格的理性思维是数学和逻辑，数学和逻辑是所有近现代科学理论的基础。但是，就在被数学家用严格的方法定义出的数学和逻辑的公理体系中照样会出现悖论或者说是无法克服的矛盾。那么人们在用某种抽象概念的规则体系来进行一种制度设计的过程中，出现一些悖论和矛盾也就可以理解了。而这正是人的认知进步过程，不管这种认知是抽象的数学、逻辑，还是各种社会组织、制度规则，它们都是不完善的、都有可以改进的空间。也就是说在人的认知活动的每个方面，都存在着进一步完善的空间。同时，可以得出这样一个结论：想在地球上建立一个完美的、终极的、天堂般的社会不但是行不通的，也是不可能的。

参考资料：
倪欧：读书笔记――选举中的悖论和不公平
老唐：阿罗不可能定理，社会选择和市场
老钱：完全公平的代议制是不存在的——一个由选举悖论得出的结论
老钱：阿罗不可能定理及阿罗之后的社会选择理论
Joseph Malkevitch: Voting and Elections
Joseph Malkevitch: Apportionment